確率における誤謬

3つの扉があり、１つはアタリ、２つはハズレです。

挑戦者は３つの中から１つの扉を選びます。

司会者は答えを知っており、挑戦者が選んだ扉以外の２つの中から不正解の扉を選んで開けます。

挑戦者は残り２つの扉から再度選ぶことが可能。

はたして、挑戦者は扉を選び直すべきかどうか？確率はどうなるか？といった問題。

この問題は多くの人が確率を誤って答えてしまう問題である。
ほとんどの人が、確率は1/3か1/2と答えてしまうが誤りである。
そしてこれは「確率の専門家」ですら間違えてしまうほどの問題として有名になった。

Aをアタリの扉、BとCをハズレの扉とします。
まず、「選び直さない場合」と「選び直した場合」とで分けて考えます。

選び直さない場合は、パターンは１つしかなくそのまま確率は1/3となります。

選び直した場合は、パターンが３つあります。

１．最初に選んだ扉がA（アタリ）のときは、選び直すことでハズレになってしまう。
（司会者がBとCどちらを開けても一緒）

２．最初に選んだ扉がB（ハズレ）のときは、司会者はC（ハズレ）を開けるはずなので、選び直すことでA（アタリ）にたどり着く。

３．最初に選んだ扉がC（ハズレ）のときは、司会者はB（ハズレ）を開けるはずなので、選び直すことでA（アタリ）にたどり着く。

選び直す場合この３パターンが存在し、そのうちアタリのパターンは２つあるため、確率は2/3まで上がる。
扉を選び直した時に、確率が反転するため（アタリだったらハズレ、ハズレだったらアタリに）あたる確率が1/3だったものが2/3になります。